# Тридцать простых приемов устного счета

Яков Исидорович Перельман

Тридцать простых приемов устного счета


Составил Я. И. ПЕРЕЛЬМАН


Ленинград.


1941


От составителя


В настоящее время в продаже нет руководств, содержащих наставления к быстрому выполнению счетных операций в уме. Мы сочли поэтому полезным собрать в краткой брошюре наиболее простые и легко усваиваемые приемы быстрого устного счета. Они рассчитаны на средние способности и имеют в виду не публичные выступления на эстраде, а потребности повседневной жизни. Пользующиеся книжечкой должны помнить, что успешное овладение ее указаниями предполагает не механическое, а вполне сознательное распоряжение приемами и, кроме того, более или менее продолжительную тренировку. Зато, усвоив рекомендуемые приемы, можно выполнять быстрые расчеты в уме с безошибочностью письменных вычислений.


Умножение на однозначное число


╖ 1. Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 в 8), выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20 в 8 = 160), затем единицы (7 в 8 = 56) и оба результата складывают.

Еще примеры:


34 в 7 = 30 в 7 + 4 в 7 = 210 + 28 = 238(

47 в 6 = 40 в 6 + 7 в 6 = 240 + 42 = 282(


╖ 2. Полезно знать на память таблицу умножения до 19 в 9:


2


3


4


5


6


7


8


9


11


22


33


44


55


66


77


88


99


12


24


36


48


60


72


84


96


108


13


26


39


52


65


78


91


104


117


14


28


42


56


70


84


98


112


126


15


30


45


60


75


90


105


120


135


16


32


48


64


80


96


112


128


144


17


34


51


68


85


102


119


136


153


18


36


54


72


90


108


126


144


162


19


38


57


76


95


114


133


152


171


Зная эту таблицу, можно умножение, например, 147 в 8 выполнить в уме так:


147 в 8 = 140 в 8 + 7 в 8 = 1120 + 56 = 1176.


╖ 3. Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например:


225 в 6 = 225 в 2 в 3 = 450 в 3 = 1350


Умножение на двузначное число


╖ 4. Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.

Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют( действие, как указано в ╖ 1. Например:


6 в 28 = 28 в 6 = 120 + 48 = 168


╖ 5. Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:


29 в 12 = 29 в 10 + 29 в 2 = 290 + 58 = 348


41 в 16 = 41 в 10 + 41 в 6 = 410 + 246 = 656


(или 41 в 16 = 16 в 41 = 16 в 40 + 16 = 640 + 16 = 656)


Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.

╖ 6. Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2 в 7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (ср. ╖ 3). Например:


45 в 14 = 90 в 7 = 630


Умножение на 4 и на 8


╖ 7. Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:


112 в 4 = 224 в 2 = 448


335 в 4 = 670 в 2 = 1340


╖ 8. Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:


217 в 8 = 434 в 4 = 868 в 2 = 1736


(Еще удобнее: 217 в 8 = 200 в 8 + 17 в 8 = 1600 в 13 = 1736).


Деление на 4 и на 8


╖ 9. Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:


76 : 4 = 38 : 2 = 19


236 : 4 = 118 : 2 = 59


╖ 10. Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:


464 : 8 = 232 : 4 = 116 : 2 = 58


516 : 8 = 258 : 4 = 129 : 2 = 641/2


Умножение на 5 и на 25


╖ 11. Чтобы устно умножить число на 5, умножают его на


10


2


, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:


74 в 5 = 740 : 2 = 370


243 в 5 = 2430 : 2 = 1215


При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:


74 в 5 =


74


2


в 10 = 370


╖ 12. Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на


100


4


, т. е. -- если число кратно 4-х -- делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Например:


72 в 25 =


72


4


в 100 = 1800


Если же число при делении на 4 дает остаток, то


при остатке:


приписывают к частному


1


25


2


50


3


75


Основание приема ясно из того, что


100 : 4 = 25; 200 : 4 = 50; 300 : 4 = 75


Умножение на 11/2, на 11/4, на 21/2, на 3/4


╖ 13. Чтобы устно умножить число на 11/2 прибавляют к множимому его половину. Например:


34 в 11/2 = 34 + 17 = 51


23 в 11/2 = 23 + 111/2 = 341/2 (или 34,5)


╖ 14. Чтобы устно умножить число на 11/4, прибавляют к множимому его четверть. Например:


48 в 11/4 = 48 + 12 = 60


58 в 11/4 = 58 + 141/2 = 721/2 или (72,5)


╖ 15. Чтобы устно умножить число на 21/2, к удвоенному числу прибавляют половину множимого. Например:


18 в 21/2 = 36 + 9 = 45


39 в 21/2 = 78 + 191/2 = 971/2 (или 97,5)


Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:


18 в 21/2 = 90 : 2 = 45


╖ 16. Чтобы устно умножить число на 3/4 (т. е. чтобы найти 3/4 этого числа), умножают число на 11/2 и делят пополам. Например:


30 в 3/4 =


30 + 15


2


= 221/2


(или 22,5)


Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.


Умножение на 15, на 125, на 75


╖ 17. Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 11/2 (потому что 10 в 11/2 = 15). Например:


18 в 15 = 18 в 11/2 в 10 = 270(


45 в 15 = 450 + 225 = 675


╖ 18. Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 11/4 (потому что( 100 в 11/4 = 125). Например:


26 в 125 = 26 в 100 в 11/4 = 2600 + 650 = 3250


47 в 125 = 47 в 100 в 11/4 = 4700 +


4700


4


= 4700 + 1175 = 5875


╖ 19. Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на 3/4 (потому что 100 в 3/4 = 75). Например:


18 в 75 = 18 в 100 в 3/4 = 1800 в 3/4 =


1800 + 900


2


= 1350


Примечание. Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом ╖ 6:


18 в 15 = 90 в 3 = 270


26 в 125 = 130 в 25 = 3250


Умножение на 9 и на 11


╖ 20. Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:


62 в 9 = 620 -- 62 = 600 -- 42 = 558


73 в 9 = 730 -- 73 = 700 -- 43 = 657


╖ 21. Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:


87 в 11 = 870 + 87 = 957


Деление на 5, на 11/2, на 15


╖ 22. Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числе последнюю цифру. Например:


68 : 5 =


136


10


= 13,6


237 : 5 =


474


10


= 47,4


╖ 23. Чтобы устно разделить число на 11/2, делят удвоенное число на 3. Например:


36 : 11/2 = 72 : 3 = 24


53 : 11/2 = 106 : 3 = 351/3


╖ 24. Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30. Например:


240 : 15 = 480 : 30 = 48 : 3 = 16


462 : 15 = 924 : 30 = 30


24


30


= 304/5 = 30,8


(или 924 : 30 = 308 : 10 = 30,8)


Возвышение в квадрат


╖ 25. Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8 в 9 = 72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры:


252; 2 в 3 = 6; 625


452; 4 в 5 = 20; 2025


1452; 14 в 15 = 210; 21025


Прием этот вытекает из формулы


(10x + 5)2 = 100x2 + 100x + 25 = 100x (x + 1) + 25


╖ 26. Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:


8,52 = 72,25 14,52 = 210,25


0,352 = 0,1225, и т. п.


╖27. Так как 0,5 = 1/2, а 0,25 = 1/4, то приемом ╖25 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью 1/2:


(81/2)2 = 721/4


(141/2)2 = 2101/4 и т. п.


╖ 28. При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (а ╠ b)2 = а2 + b2 ╠ 2аb. Например


412 = 402 + 1 + 2 в 40 = 1601 + 80 = 1681


692 = 702 + 1 -- 2 в 70 = 4901 -- 140 = 4761


362 = (35 + 1)2 = 1225 + 1 + 2 в 35 = 1296


Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9.


Вычисления по формуле


(а + b) (а -- b) = а2 -- b2


╖ 29. Пусть требуется выполнить устно умножение


52 в 48


Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2) в (50 -- 2) и применяем приведенную в заголовке формулу:


(50 + 2) в (50 -- 2) = 502 -- 22 = 2496


Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой -- в виде разности тех же чисел:


69 в 71 = (70 -- 1) в (70 + 1) = 4899(


33 в 27 = (30 + 3) в (30 -- 3) = 891(


53 в 57 = (55 -- 2) в (55 + 2) = 3021(


84 в 86 = (85 -- 1) в (85 + 1) = 7224


╖ 30. Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:


71/2 в 61/2 = (7 + 1/2) в (7 -- 1/2) = 483/4


113/4 в 121/4 = (12 -- 1/4) в (12 + 1/4) = 143


15


16


Полезно запомнить


37 в 3 = 111

Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п.


37 в 6 = 37 в 3 в 2 = 222


37 в 9 = 37 в 3 в 3 = 333


37 в 12 = 37 в 3 в 4 = 444


37 в 15 = 37 в 3 в 5 = 555 и т. д.


7 в 11 в 13 = 1001

Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:


77 в 13 = 1001


91 в 11 = 1001


77 в 26 = 2002


91 в 22 = 2002


77 в 39 = 3003


91 в 33 = 3003(


и т. д.


и т. д.


143 в 7 = 1001


143 в 14 = 2002


143 в 21 = 3003


и т. д.


В нашей книжечке указаны только ростейшие, наиболее удобоприменимые способы устного выполнения действий умножения, деления и возвышения в квадрат. Практикуясь в сознательном пользовании ими, вдумчивый читатель выработает для себя ряд еще и других приемов, облегчающих вычислительную работу.


УКАЗАТЕЛЬ


Умножение


на однозначное число


╖╖ 1--3


на двузначное число


╖╖ 4--6


разности на сумму


╖╖ 29--30


на 3/4


╖ 16


11/4


╖ 14


11/2


╖ 13


21/2


╖ 15


4


╖ 7


5


╖ 11


8


╖ 8


9


╖ 20


11


╖ 21


15


╖ 17


25


╖ 12


75


╖ 19


125


╖ 18


Деление


на 11/2

╖ 23

4

╖ 9

5

╖ 22

8

╖ 10

15

╖ 24

Возвышение в квадрат

╖╖ 25--28