# Отрывки из разсуждения о чистой математике

Дмитрий Матвеевич Перевощиков

Отрывки изъ разсужденія о Чистой Маѳематики.


I.

Цѣль сочиненія.


Упражняясь много лѣтъ въ преподаваніи Маѳематики, вникая въ способы ученія другихъ наставниковъ, совѣтуясь съ людьми знающими и опытными, я увѣрился совершенно, что медленные успѣхи сей науки въ нашемъ Отечествѣ происходятъ единственно отъ того, что учащіе не наблюдаютъ счастливой средины: они или показываютъ своимъ ученикамъ одну только поверхность, не раскрывая главныхъ основаній, или вдаются въ мѣлочныя подробности, останавливающія дѣйствія ума. Первые возбуждаютъ къ наукѣ презрѣніе, а вторые -- отвращеніе. Я считаю нужнымъ объяснить сіе лучше.

Обыкновенно думаютъ, что способы преподаванія Маѳематики должны быть различны, смотря по назначенію учащихся. Другими словами: кто готовится къ учености, того должно учить и болѣе и лучше, воину надлежитъ показать только то; что полезно для его состоянія; для намѣревающагося отправлять должности мирнаго гражданина достаточно и того, чтобъ онъ умѣлъ считать и приобрѣлъ бы легкое понятіе о Маѳематикѣ, дабы онъ, какъ говорятъ, не былъ невѣждою. О! какая ложная мысль!

Кто знаетъ состояніе наукъ въ другихъ странахъ Европы, на примѣръ во Франціи, Англіи, Германіи, тому извѣстно, что тамъ Маѳематика не есть ремесло, но считается наукою; ею занимаются и литтераторы, и воины, и граждане. Ежели не ошибаюсь, то въ Германіи и Англіи курсъ Маѳематики входитъ въ составъ курса Философіи {По крайней мѣрѣ такъ было прежде.}.

Читая исторію успѣховъ ума человѣческаго, не трудно замѣтить, что наукамъ суждено обойти весь міръ, а не единовременно озарить его своимъ свѣтомъ. Каждый народъ болѣе или менѣе уважалъ Маѳематику; но Греки, которые сдѣлались всеобщими наставниками и въ литтературѣ и въ искусствахъ и даже въ Философіи, считали Маѳематику основаніемъ всѣхъ познаній. Вотъ неоспоримое свидѣтельство преимущества сей науки!

Но примѣры не составляютъ полнаго доказательства; и потому, не распространяясь о семъ, предложу, кратко общія основанія, которыя точнѣе покажутъ, что учиться Маѳематикѣ надлежитъ всѣмъ. -- Неоспоримо, что умъ, управляющій всѣми нашими дѣйствіями и поступками, требуетъ образованія; а которая изъ наукъ можетъ столь скоро и вѣрно приучить насъ къ правильному размышленію и къ основательному, глубокому вниманію? Хотя Логика и учитъ разсуждать, однако она показываетъ однѣ токмо формы; Маѳематика же, особенно основная часть ея Геометрія, даетъ матерію для разсужденія. Логика по необходимости должна заимствовать примѣры изъ Геометріи {Мнѣ случалось читать въ Логикахъ, изданныхъ на Рускомъ языкѣ, самые странные примѣры. Любопытный на первый случай можетъ заглянуть въ Логическія наставленія г-на Пр. Л. Соч.}.

Далѣе: никто не можетъ обойтись безъ познанія Природы; но что такое Физика безъ Маѳематическихъ вычисленій? Нютонъ, Лапласъ, Ейлеръ, Біотъ и многіе другіе не могли бы сдѣлать тѣхъ важныхъ открытій, которыя распространили свѣтъ на явленія Природы, если бы сіи великіе мужи не обладали обширными Маѳематическими свѣдѣніями. Самыя искусства, особенно Архитектура, болѣе или менѣе опираются на Маѳематику. Не говорю уже о мореплаваніи, о наукахъ военныхъ, о практической механикѣ: всѣ знаютъ, что тутъ ни шагу не льзя сдѣлать безъ Маѳематики.

Заключимъ: Маѳематика есть основаніе всѣхъ человѣческихъ познаній; и такъ всякой долженъ ей учиться, если: не съ равной обширностію, то по крайней мѣрѣ съ равною основательностію {Не можно читать безъ удовольствія прекрасное сочиненіе г. Пр. Никольскаго: Слово о Пользѣ Математики. 1816 года. Coч.

}.

Теперь обратимся къ способностямъ людей. Замѣчено, что Рускіе имѣютъ умъ основательный и понятливость удивительную. По сему обязанность учителей Маѳематики состоитъ въ томъ, чтобъ подкрѣплять сіи благія дары Природы, а незаглушать и не стѣснятъ ихъ. Вотъ почему, имѣя предъ собой различныя книги, изданныя во Франціи и въ другихъ странахъ Европы для преподаванія по нимъ Маѳематики, я ни одной изъ нихъ не находилъ удовлетворительною; надлежитъ уподобиться трудолюбивой пчелѣ, которыя составляетъ медъ изъ различныхъ веществъ; но такая работа требуетъ великихъ усилій и средствъ, которыя не всякому достаются; ради сего, вмѣсто необдуманныхъ компиляцій, начальныхъ основаній Маѳематики и буквальныхъ переводовъ такихъ Маѳематическихъ книгъ, которыя не годится и для того народа, на языкѣ коего онѣ написаны {О книгахъ, которыя здѣсь разумѣю, сказано будетъ въ своемъ мѣстѣ. Соч.}, надлежитъ кому-нибудь изъ опытныхъ и знающихъ свое дѣло людей, взять на себя почтенный трудъ издать полную систему Маѳематики, гдѣ наука была бы предложена въ нынѣшнемъ ея состояніи, ясно, основательно безъ отяготительныхъ подробностей, такъ чтобъ сія книга могла служить руководствомъ, которое довело бы желающихъ до глубочайшихъ познаній въ Маѳематикѣ, и было бы удовлетворительнымъ для людей, не посвящающихъ себя особенно сего рода занятіямъ.

Не смѣю и думать о такомъ важномъ предприятіи, но желая участвовать въ немъ по мѣрѣ силъ своихъ считаю не безполезнымъ предложить нѣкоторыя идеи о способѣ преподаванія Маѳематики; а какъ прежде должно показать состояніе науки, то разсужденіе свое раздѣляю на двѣ части: на историческую и философскую, ограничиваясь токмо Чистою Маѳематикой.

Здѣсь предлагаются на судъ читателей отрывки изъ сего разсужденія.


ІІ.

Мнѣнія о началѣ Ариѳметики и Геометріи.


Исторія начинается преданіями. Сіи преданія со временемъ совершенно теряются, или столько измѣняюліся, что надобно имѣть и большую проницательность ума и великое терпѣніе, дабы добраться до истины; а иногда и всякія усилія остаются тщетными. Таковыхъ сомнительныхъ пунктовъ въ Исторіи народовъ находится премножество. Ежели тотъ предметъ, коимъ занимались и занимаются ученые всѣхъ временъ, имѣя обильныя пособія въ лѣтописяхъ, памятникахъ и пр., не получилъ еще надлежащаго совершенства; то можно ли требовать, чтобъ исторія успѣховъ ума человѣческаго была, удовлетворительною, когда современники почти не обращали вниманія на столь важную отрасль, познаній потомства? -- Такимъ образомъ почти ничего, не льзя сказать рѣшительнаго о мѣстѣ рожденія Ариѳметики и Геометріи. Вотъ нѣкоторыя, о семъ предметѣ мнѣнія.

Страбонъ считаетъ за несомнѣнное, что Финикіяне, какъ искуснѣйшіе торговцы, первые занимались Ариѳметикой; а Кодринъ увѣряетъ даже, что Фениксъ, сынъ Агенора, писалъ о сей наукѣ на языкѣ Финикійскомъ. Напротивъ сего Платонъ изобрѣтеніе чиселъ, и счета приписываетъ Тоуту или Тоту; историкъ же древностей Іудейскихъ, почитаетъ Авраама древнѣйшимъ Ариѳметистомъ. -- Ежели справимся у другихъ народовъ, то безъ сомнѣнія, каждый изъ нихъ, найдетъ какія нибудь свидѣтельства, что и его предки участвовали въ изобрѣтеніи счета и были непослѣдними Ариѳметистами. Что же изъ сего заключить должно? -- То, по моему мнѣнію, что Ариѳметика также древна, какъ и родъ человѣческій. Ибо въ какомъ бы состояніи человѣкъ ни находился, всегда будетъ онъ окруженъ отдѣльными предметами; слѣдственно, всегда долженъ будетъ считать, и десять пальцовъ его рукъ первые возбудятъ въ немъ сію необходимость. Здѣсь заключается и причина десятеричнаго счета почти у всѣхъ народовъ. -- Думая такимъ образомъ, нахожу страннымъ, что достопочтенный Монтукла (Истор. Мфте. T. I, стр, 44) не хочетъ вѣрить, что Авраамъ умѣлъ считать, и говоритъ: c'est un de ces traips, qui ne peuvent trouver de l'accueil qu'auprиs de quelque compelateur dénué de critique et de raisonnemet (ето одинъ изъ тѣхъ случаевъ, которые заслуживаютъ вѣроятіе компилатора, незнающаго критики и не размышляющаго). Такой приговоръ слишкомъ строгъ, и можетъ имѣть вѣсъ только въ томъ случаѣ, когда дѣло идетъ объ Ариѳметикѣ систематической: ибо, вѣроятно, что Авраамъ не имѣлъ надобности сочинять учебной книги; но не уже ли кто повѣритъ, что или Египтяне, или Финикіяне, или другіе народы имѣли подобныя сочиненія.

Мнѣнія о началѣ Геометріи столь же разнообразны и столь же неосновательны. Проклъ въ своихъ комментаріяхъ на первую книгу Евклидовыхъ Елементовъ увѣряетъ, что разлитіе Нила точно было первою побудительною причиною составленія начальныхъ правилъ о измѣреніи протяженнаго количества, и что посему-то Греки назвали сію науку Геометріею, т. е. Землемѣріемъ. Ежели обольстимся етимологіею, то лучше повѣримъ Иродоту, который разсказываетъ, что Геометрія родилась въ то время, когда Сезострисъ изрылъ Египетъ многочисленными каналами. Нютонъ, принимая сіе мнѣніе, прибавляетъ, что Сезострисъ сдѣлалъ сіе по совѣту вельможи своего Тота, который есть тотъ же человѣкъ, что и Озиридъ.-- Оба сіи мнѣнія могутъ быть справедливы только до нѣкоторой степени, именно: если Египтяне точно не хотѣли, или не могли положить постоянныхъ признаковъ разграниченія земель своихъ, то они и Царь Сезострисъ должны были прибѣгнуть къ искуственнымъ средствамъ для безобиднаго размежеванія; но безъ сомнѣнія ихъ средства не были собственно Геометрическія: ибо и нынѣ сельскіе жители, не зная Геометріи, умѣютъ раздѣлять поля свои и такъ искать въ сихъ двухъ случаяхъ начала Геометріи, какъ науки, значитъ слишкомъ предаваться своему воображенію. Гораздо основательнѣе думаетъ Аристотель: "Маѳематическія познанія" говоритъ онъ въ своей Метафизикѣ, "родились въ Египтѣ; потому что въ сей странѣ жрецы, бывъ совершенно удалены отъ дѣлъ житейскихъ, имѣли досугъ предаваться ученію и размышленіямъ. Сіе подтверждаетъ Діодоръ, да и Метафизическое понятіе о Геометріи весьма благоприятствуетъ сему мнѣнію.


III.

О школѣ Ѳалесовой.


Ѳалесъ, родившійся за 640 лѣтъ до Р. X., предпринималъ путешествіе въ Египетъ. Тамъ бесѣдовалъ онъ со жрецами; но трудно рѣшить; вознаградила ли сія бесѣда тѣ безпокойства, которыя мудрецъ долженъ былъ потерпѣть отъ продолжительнаго пути. Ѳалесъ удивилъ Амазиса, измѣривши при немъ пирамиды, безъ сомнѣнія, чрезъ пропорціональность сторонъ двухъ прямоугольныхъ треугольниковъ {Діогенъ говоритъ, что Ѳалесъ для измѣренія пирамидъ избралъ то мгновеніе, когда тѣнь отъ человѣка равняется его росту. Геній мудреца требуетъ, чтобъ мы предположили въ немъ и большее остроуміе и болѣе учености. Соч.}; слѣдственно жрецы не знали сего свойства треугольниковъ; слѣдственно Ѳалесъ или самъ открылъ свое, или понялъ темныя для жрецовъ начала Геометріи, начертанныя на столбахъ Меркуріемъ Тресмегистомъ, если повѣримъ существованію сихъ столбовъ. Но какъ бы то ни было, только: Ѳалесъ возвратился въ Грецію съ обильнымъ запасомъ маѳематическихъ познаній, и не подражая завистливымъ жрецамъ Египта, началъ открывать оныя своимъ согражданамъ. Удивленіе было соразмѣрно новости и важности истинъ: стеклось множество слушателей, и тѣмъ положено основаніе школѣ, которая получила наименованіе Іонической, отъ отечества ея основателя.

Геометрія одолжена Ѳалесу многими важными открытіями: жаль, что за недостаткомъ свидѣтельствъ не возможно именно означать сіи открытія; извѣстно только, что свойство круга, по коему всякой уголъ, имѣющій вершину на окружности и опирающійся своими сторонами на концы діаметра, есть прямой, восхитило его до такой степени, что онъ принесъ жертву Музамъ.

Преемникомъ Ѳалеса былъ ученикъ его Анаксимандръ. Историки пишутъ, что онъ первый началъ чертить геометрическія фигуры {Смотри Biographie Universelle, ancienne et moderne. T II, p. 48.}. За Анаксимакдромъ слѣдовали Анаксименъ и Анаксагоръ {Анаксагоръ, сынъ Гегезибула, родился въ Клазоменѣ, въ первый годъ 70 Олимпіады, за 500 лѣтъ до Р. X. -- Онъ презрѣлъ богатое наслѣдство и предался наукамъ; путешествовалъ по всѣмъ землямъ, гдѣ только надѣялся чему нибудь научиться. Въ Аѳины возвратился онъ при Периклѣ, сдѣлался его другомъ, претерпѣлъ гоненіе и умеръ 72 лѣтъ въ бѣдности. См. вышеприведенной книги cm. 95.}, о коихъ знаемъ только вообще, что они занимались Маѳемaтикоіо; о послѣднемъ же повѣствуютъ, будто бы онъ, находясь въ темницѣ, искалъ квадратуру круга.

Хотя сіи извѣстія весьма недостаточны однако не льзя не усмотрѣть, что Ѳалесъ и его преемники положили для Геометріи твердое основаніе, и что она изъ искусства превратилась въ науку. Если же Іоническая школа не привела своихъ начатковъ къ большему совершенству, то причиною сего можно полагать сильное желаніе членовъ сей школы истолковать тайны Природы. Вначалѣ умъ человѣческой всегда блуждаетъ, не зная ни силъ своихъ, ни пособій, которыя успѣлъ заготовить.


IV.

О школе Пиѳагоровой.


Пиѳагоръ путешествовалъ въ Египетъ и въ Индію до береговъ Ганга. Вотъ слѣдствія сего путешествія.

Боецій {Боецій жилъ въ 5 и 6 столѣтіяхъ, былъ другомъ Ѳеодорика, который превратился потомъ въ его тирана, и добродѣтельнѣйшаго вельможу предалъ мучительной смерти по навѣтамъ двухъ вѣроломныхъ Готѳовъ. Боецій занимался науками и писалъ о Маѳематическихъ предметахъ, Ариѳметика его издана подъ названіемъ: De fev. Boetii Arithmetica, adjscto commentafio, etc. Венеція, 1488, in 4e, а въ Парижѣ сія же книга напечатана 1521 года, in fol. Соч.} въ своей Геометріи говоритъ что нѣкоторые Пиѳагорейцы изобрѣли и употребляли въ своихъ исчисленіяхъ девять особенныхъ знаковъ, между тѣмъ какъ всѣ прочіе считали посредствомъ буквъ своего алфавита. Знаки сіи весьма сходны съ тѣми, которые получены нами отъ Арабовъ.

Монтукла приводитъ слѣдующія доказательства объ Индійскомъ происхожденіи оныхъ знаковъ:

1. Въ различныхъ библіотекахъ находятся манускрипты Арабскихъ трактатовъ объ Ариѳметикѣ подъ названіями: Искусство считать по способу Индійцевъ, Индійское исчисленіе, и пр. Въ одномъ изъ сихъ манускриптовъ, принадлежащемъ Лейденской библіотекѣ, числительные знаки очень сходны съ нашими и съ Планудіевыми.

2. Ал-Сефади, въ своихъ комментаріяхъ на знаменитую поему Араба Торгая, замѣчаетъ, что Индія славится тремя вещами: книгою подъ названіемъ Полайла-ве дамма {Ето есть сочинитель басень, подобныхъ Езоповымъ. Соч.}, способомъ считать и игрою въ шахматы. Также сюда принадлежитъ свидѣтельство Абенъ-Рагеля и Арабскаго писателя XIII вѣка; онъ, въ предисловіи къ трактату объ Астрономіи, хранящемуся въ Лейденской библіотекѣ, пишетъ, что изобрѣтеніе сего рода Ариѳметики есть дѣло Индіискихъ философовъ.

3. Монаху Планудію, писавшему въ XIII вѣкѣ, принадлежитъ сочиненіе подъ названіемъ: Ариѳметика Индійская, или способъ считать поиндійски. Система счисленія, которую онъ тутъ изъясняетъ, совершенно сходна съ употребляемою. нынѣ, и знаки его, хотя отличные отъ нашихъ, малымъ чѣмъ отличаются отъ знаковъ Ал-Сефади. Сверхъ сего, изложивши форму девяти знаменательныхъ знаковъ сей Ариѳметики, онъ говоритъ: сіи девять знаковъ суть Индійскіе. Потомъ прибавляетъ: есть еще десятый знакъ, именуемый τζίφρα, который изображается чpeзъ о, и который ничего не означаетъ {Монтукла замѣчаетъ, что здѣсь заключается истинная етимологія слова цифра, коимъ, по злоупотребленію, введенному въ недавніе вѣки, называются всѣ наши числительные знаки. Греческое (?), слово, τζίφρα явно показываетъ, что оно происходитъ не отъ sephera (numeravit), но отъ, Tzephera (vacuus seu inanis suit).-- Также извѣстный Сегнеръ въ Своей Ариѳметикѣ называешъ нуль цифрою.}.

4. Когда нынѣшняя Ариѳметика начала въ ХШ вѣкѣ входитъ въ употребленіе у Европейцовъ, тогда никто не суммѣвался въ Индійскомъ ея произхожденіи.

Къ сему присоединяетъ Монтукла и другія разсужденія, о коихъ умалчиваю ради краткости, и потомъ выводитъ такое заключеніе: "Индійцы весьма привязаны къ своимъ обыкновеніямъ и неспособны принимать оныя отъ чужеземцевъ. И такъ полагаю, что наша Ариѳметика родилась въ Индіи, откуда мало помалу перешла къ Арабамъ и къ другимъ Восточнымъ народамъ, съ коими Греки имѣли сношенія въ первыхъ вѣкахъ по основаніи Константинополя. Въ сіе-то время, можетъ быть Греки узнали ее; но какъ тогда науки ихъ клонились уже къ паденію, то сіе познаніе осталось безплоднымъ, заключеннымъ въ однѣхъ токмо книгахъ. Боецій, писавшій въ началѣ шестаго вѣка и получившій всѣ свои познанія отъ Грековъ, свѣдалъ также и объ сей Ариѳметикѣ, помѣстилъ ее въ свою Геометрію, назвавъ изобрѣтеніемъ Пиѳагора," и проч.

Если бы можно было доказать; что Ариѳметика не существовала еще въ Индіи въ то время, когда Пиѳагоръ посѣщалъ сію страну, то надлежало бы согласиться съ изложеннымъ мнѣніемъ знаменитаго Монтуклы. Но древность Индійцовъ не позволяетъ сомнѣваться и въ древности Ариѳметики; ради сей причины побуждаюсь думать, что Пиѳагоръ точно зналъ сію десятеричную Ариѳметмку, употреблялъ ее въ своихъ счислееіяхъ, и провидя всю пользу, которую принесетъ сей способъ, возбудилъ въ ученикахъ своихъ чрезвычайное къ нему удивленіе, которое возвысилось до ентузіазма и произвело извѣстный Пиѳагоріанской мистицизмъ, воспрепятствовавшій распространенію Ариѳметическихъ познаній между согражданами Пиѳагора.

Сего мнѣнія не выдаю за неоспоримое; мнѣ кажется только, что обстоятельства дѣла позволяютъ такъ думать.

Теперь исчислимъ тѣ услуги, оказанныя Маѳематикѣ италіанскою школой, которыя не подвержены никакому сомнѣнію.

Кому изъ занимающихся Маѳематикою не извѣстно, что ѳеорема о квадратѣ изъ ипотенузы прямоугольнаго треугольника есть изобрѣтеніе Пиѳагора? -- Сія ѳеорема составляетъ нѣкоторую епоху въ приращеніи наукъ Маѳематическихъ: ибо ея различныя примѣненія много разширили предѣлы Геометріи. Думаютъ, что Пиѳагоръ за сію ѳеорему благодарилъ Музъ жертвою, изо ста быковъ состоящею: но Пиѳагоръ есть основатель системы преселенія душъ.

Изъ учениковъ Пиѳагора извѣстнѣйшіе суть:

1. Архитасъ, который разрѣшилъ вопросъ о двухъ среднихъ пропорціональныхъ, и который, будучи современникомъ и другомъ Платона, получилъ отъ него свѣдѣніе объ анализѣ и употреблялъ оный для новыхъ открытій. Онъ же сдѣлалъ прикладъ Геометріи къ Механическимъ вопросамъ.

2. Демокритъ, объяснившій елементнряое ученіе о соприкосновеніи круговъ и сферъ, о линіяхъ ирраціональныхъ и о тѣлахъ; чрезъ сіе Геометрія обогатилась новыми любопытными ѳеоріями, хотя нѣкоторыя изъ нихъ, на примѣръ о правильныхъ тѣлахъ, совершенно безполезны.

3. Енопидъ. Сей Геометръ показалъ способъ чертить данному углу равный и опускать перпендикуляръ изъ данной точки на данную линію. -- Монтукла сомнѣвается, чтобъ токмо сіе могло составить славу Енопида. Ежели судить о семъ по нынѣшнему состоянію Маѳематики, то не можно не считать сихъ открытій маловажными; но въ то время Геометрія не имѣла еще системы, для которой разрѣшеніе оныхъ двухъ задачь необходимо.

4. Зенодоръ, оказавшій Геометрической точности значительную услугу тѣмъ, что опровергъ заблужденіе относительно разныхъ периметровъ; онъ увѣрилъ, что для равенства площадей недостаточно равенства периметровъ.

5. Иппократъ. Сверхъ извѣстной ѳеоріи луночекъ {Иппократъ, обольстясь удобностію опредѣлять квадратуру луночки, надѣялся также безъ затрудненія найти квадратуру самаго круга. Хотя употребляемое имъ средство весьма остроумно; однако должно предполагать, что онъ самъ видѣлъ его несправедливость, и сдѣлалъ извѣстнымъ единственно съ тѣмъ намѣреніемъ, дабы показать, что если кто опредѣлитъ квадратуру луночки, ограниченной полуокружностію и шестою долею окружности, тотъ найдетъ квадратуру круга. Соч.}, онъ доказалъ, что задача объ удвоеніи куба зависитъ отъ опредѣленія двухъ среднихъ пропорціональныхъ количествъ.

Ежели справедливо, что Иппократъ трудился надъ составленіемъ елементовъ Геометріи; то надлежитъ заключить, что въ его время наука сія была столько распространена, что для удобнѣйшаго ея уразумѣнія настояла потребность въ систематическомъ изложеніи входящихъ въ составъ ея предметовъ.


(Оконч. въ слѣд. книж.)


------


[Перевощиков Д.М.] Отрывки из разсуждения о чистой мафематике / П-в // Вестн. Европы. -- 1818. -- Ч.99, N 12. -- С.282-298.


Отрывки изъ разсужденія о Чистой Меѳематикѣ.


(Окончаніе.)


V.

О школѣ Александрійской.


Смерть прервала стремленіе Александръ Македонскаго къ преобладанію; гигантская имперія раздѣлена была между его военачальниками: Лагусъ получаетъ Египетъ, и какъ скоро становится спокойнымъ обладателемъ, то царскій взоръ свой, вмѣстѣ съ благотвореніями, обращаетъ на ученыхъ, которые приносятъ въ Александрію свои и предшественниковъ своихъ, познанія. Лагусъ не удовольствовался симъ; онъ захотѣлъ навсегда водворить науки въ подвластной ему странѣ, и завелъ школу, которая потомъ была усовершенствована Птоломеемъ Филадельфомъ. Между членами сей школы находятся мужи, навсегда прославившіеся. Первый изъ нихъ есть Евклидъ. Кто неслыхалъ о драгоцѣнномъ произведеніи сего Геометра? Его Елементы составляютъ основаніе всѣхъ геометрическихъ познаній: они съ совершенствомъ научаютъ разсуждать и показываютъ, въ чемъ состоитъ геометрическая строгость и точность. Въ своемъ мѣстѣ будетъ объяснено, что всѣ покушенія новыхъ Маѳематиковъ перемѣнить связь, устроенную между предметами сего творенія, суть неуспѣшны, и, кажется, напрасны: надлежало бы токмо прибавить открытія Архимеда, и оставить сію книгу неприкосновенною, сдѣлавъ ее основаніемъ для зданія Геометріи. Древніе Геометры и нѣкоторые изъ новыхъ чувствовали сію истину, и старались умножать изданія Елементовъ. Изъ первыхъ Проклъ предпринималъ сдѣлать на нихъ обширныя замѣчанія, которыя однакожъ ограничиваются только первою книгою; очень жаль, что сей Геометръ не окончилъ труда своего: ибо въ его началѣ, хотя весьма утомительномъ отъ многословія, заключаются прекрасныя извѣстія касательно которой Маѳематики и важныя понятія о Метафизикѣ сей науки: Изъ изданій же новыхъ Геометровъ предпочтительнѣйшія суть; Барова (1659) и Кейля (Keil), содержащія только 8 книгъ, т. е. 6 первыхъ и 11 и 12 изъ послѣднихъ (1701); Роберта Симсона, также изъ 8 книгъ, напечатанное въ Глазговѣ 1756 года -- сіе изданіе принято Англичанами за классическое; и наконецъ въ 1809 году Пейраръ (Peyrard), Профессоръ Маѳематики и Астрономіи въ Лицеѣ Буонапарта, напечаталъ буквальный переводъ 8 Евклидовыхъ книгъ съ прибавленіемъ всего того, чего недоставало въ нихъ, и что дополнено Архимедомъ. Сверхъ сего Елементы переведены на всѣ Европейскіе языки, даже на Арабской, Персидской, Турецкой, Еврейской и наконецъ на Китайской. Должно думать, что сіи переводы совершены по большей части съ возможною исправностію. И такъ не надлежитъ ли намъ сожалѣть и стыдиться, что въ нашемъ Отечествѣ нѣтъ хорошаго изданія сей драгоцѣнной книги? Г. Академикъ Гурьевъ составилъ свою Геометрію, кажется, съ тѣмъ намѣреніемъ, чтобъ она въ полной мѣрѣ замѣнила хорошее изданіе Евклидовыхъ Елементовъ; въ своемъ мѣстѣ показано будетъ, сколько г. Гурьевъ успѣлъ въ семъ предпріятіи.

Маѳематическіе труды Евклида не ограничиваются Елементами; онъ принесъ также великую пользу анализу, стараясь, какъ кажется, положить оному твердыя начала: ибо книгѣ его, именуемой Data, не можно приписать другой цѣли. Сверхъ того Паппусъ свидѣтельствуетъ, что Евклидъ писалъ о коническихъ сеченіяхъ, много разпространилъ ихъ ѳеорію, и касался даже тѣхъ предметовъ, которые нынѣ подлежатъ выкладкамъ высшаго анализа, каковы суть кривыя души о двухъ кривизнахъ.

Но глубокомысленнѣйшее его твореніе есть три книги о поризмахъ (de parismatibus). До крайности жаль, что сіе сочиненіе не дошло до насъ; а показанія Паппуса темны; даже Галлей, одинъ изъ величайшихъ знатоковъ древней Геометріи, признался, что совсѣмъ ихъ не понимаетъ. Хотя въ сочиненіяхъ. Роберта Симсана, изданныхъ (1776) Кловомъ послѣ его смерти, находятся догадки, въ чемъ состояли пориимы; однако и сей знаменитый Геометръ не могъ дать полнаго объ нихъ понятія. Вотъ слова Монтуклы о семъ предметѣ: "Въ древней Геометріи нѣтъ ничего темнѣе и труднѣе поризмовъ, что подтверждается признаніемъ Галлея. Даже послѣ объясненій Роберта Симсона мы не надѣемся дать ясное понятіе о сущности поризма и объ отличіи его отъ ѳеоремы и задачи: ибо сіе отличіе столь тонко, что едва ли мы будемъ въ состояніи опредѣлить, оное съ точностію." Паппусъ называетъ, сіи книги collectio artificissima multarum rerum, quae spectant ad analysim difficiliorum et generaliorum problematum, quorum ingentem copiam praebet natura etc.

Второй изъ тѣхъ славныхъ Маѳематиковъ Александрійской школы, коихъ сочиненія болѣе намъ извѣстны, есть Ератосѳенъ, мужъ, принадлежащій къ числу сихъ рѣдкихъ людей, которые своимъ геніемъ обнимаютъ всѣ роды познаній: онъ былъ ораторъ, стихотворецъ и антикварій, философъ и маѳематикъ. По словамъ Паппуса, онъ старался усовершенствовать анализъ и написалъ двѣ книги de locisd ad medietates, которыя по мнѣнію Монтуклы суть не иное что, какъ коническія сѣченія {Здѣсь не мѣсто излагать предметъ сего сочиненія; замѣтимъ только, что заключающіяся въ немъ ѳеоремы легко доказать посредствомъ новаго анализа. Соч.}.

Ератосѳенъ разрѣшилъ также славную задачу объ удвоеніи куба, и показалъ любопытный способъ находить простыя числа. Сей способъ извѣстенъ подъ именемъ сита (crible), поелику онъ не есть прямой, a подающій средство исключить числа сложныя. Вотъ изложеніе онаго по запискѣ Горлея (Horsley), напечатанной въ Философскихъ транзакціяхъ на 1772 годъ.

Во первыхъ явно, что всѣ числа четныя, кромѣ 2, суть числа сложныя, и по крайней мѣрѣ могутъ бытъ раздѣлены на 2 безъ остатка; и такъ изъ ряду натуральныхъ числъ надлежитъ оныя исключить; остаются нечетныя, начиная съ 3. Теперь, если за перваго дѣлителя принято будетъ простое число 3, то не трудно усмотрѣть, что всѣ числа, дѣлимыя на 3, отдѣлены одно отъ другаго двумя числами. Ежели за втораго дѣлителя примется простое число 5, то всѣ числа, измѣряемыя 5ю, будутъ отдѣлены четырьмя числами. Ежели третьимъ дѣлителемъ возмется 7, то числа, имѣющія сего дѣлителя, будутъ находиться чрезъ шесть числъ и т. д.; послѣ сего стоитъ только исключить тѣ числа, которыя дѣлятся на 3, 5,7 и пр.

Третій изъ мужей, прославившихъ Александрійскую школу, есть Аполлоній. Галлей въ предисловіи къ Коническимъ, сѣченіемъ сего древняго Геометра говоритъ, что онъ жилъ спустя 40 лѣтъ послѣ Архимеда. Обширный трактатъ о Коническихъ сѣченіяхъ есть главный трудъ Аполлонія; онъ получилъ за него проименованіе Великаго. -- Кажется, что первые изъ занимавшихся коническими сѣченіями предполагали пресѣкающую плоскость перпендикулярною къ сторонѣ конуса, и слѣдственно употребляли три рода конусовъ, чтобъ получить еллипсисъ, параболу и гиперболу; сіи линіи извѣстны были подъ названіями: сеченіе конуса остроугольнаго, сеченіе конуса прямоугольнаго и сеченіе конуса тупоугольнаго. Аполлоній показалъ, что ихъ можно получить изъ сѣченій однаго и того же конуса, и притомъ первый ввелъ наименованія еллипсиса и гиперболы.-- Обширность и изящество Аполлоніева трактата суть причины, для коихъ исчезли предшествующія ему о томъ же предметѣ сочиненія, равно какъ изъ всей древности остались одни токмо Елементы Геомеріи. До изобрѣтенія книгопечатанія весьма трудно было доставать книги, а потому ограничивались важнѣйшими или полезнѣйшими, и часто довольствовались сокращеніями. Сіи сокращенія были вредны, потому что нѣкоторыя части сочиненій терялись; таковой участи подверглись Коническія сѣченія Аполлонія. Изъ осьми книгъ сего трактата дошли до Европейцовъ въ оригиналѣ только четыре, которые сначала были изданы Мемміемъ на Латинскомъ языкѣ въ 1557 году, а потомъ въ 1566 Коммандиномъ съ комментаріями Евтокія и леммами Паппуса, коими было объяснено, чему надлежало содержаться въ потерянныхъ книгахъ. Арабы, переселивъ къ себѣ познанія Грековъ; не оставили въ забвеніи сочиненія Аполлоніева, многократно переводили ихъ на свой языкъ и сдѣлали сокращенія. Также Персидскій Геометръ Нассиръ-Еддинъ въ 1250 году издалъ свой переводъ оныхъ, обогативъ его примѣчаніями. Все сіе было неизвѣстно въ Европѣ, гдѣ не занимались Восточною Словесностію; и Вивіани, ученикъ Галилея, трудился надъ Гаданіемъ о книгахъ Аполлонія, какъ Альфонсъ Борелли нашелъ въ Медиційской Библіотекѣ Арабскій манускриптъ; взглянувъ на чертежи, онъ узналъ въ немъ переводъ Коническихъ сеченій сего Геометра, и съ помощію Авраама Еччселленцевъ переложилъ ихъ на Латинскій языкъ: сей переводъ противу вышеупомянутыхъ содержалъ 5, 6 и 7 книги. Однако Вивіани просилъ, чтобъ Борелли не издавалъ своего труда до того времени, пока онъ окончитъ Гаданія. Въ 1659 году явилось въ свѣтъ сіе твореніе Вивіана. Сравнивая его съ сочиненіемъ Аполлонія, не льзя не сдѣлать объ немъ выгоднаго заключенія: то же глубокомысліе, та же обширность идей, такъ что Гаданія Вивіана могутъ служить дополненіемъ къ древней ѳеоріи коническихъ сѣченій. Наконецъ ученый Голій (Golius) привезъ съ Востока новый екземпляръ Коническихъ сѣченій Аполлонія, состоящій также изъ 7 книгъ, но примѣчательный своими варіантами, которыми воспользовался Галлей и сдѣлалъ превосходное изданіе сего творенія, возстановивъ и 8 ю его книгу по показаніямъ Паппуса.

Хотя и другіе Маеѳматическіе труды Аполлонія важны, однако здѣсь не можно изложить ихъ содержанія ради необходимости чертежей; и такъ приведемъ токмо ихъ заглавія: 1. De seсtiщne ratinis, 2. De sectiщne spаtii, 3. De sectione determinata, 4. De tactionibus, 5. De inclinationibus, 6. De locis planis.


VI.

Архимедъ и Діофантѣ.


Въ то время, какъ Ератосѳенъ былъ украшеніемъ Александрійской школы, Архимедъ, жившій за 287 лѣтъ до Р. X., прославилъ свое отечество Сицилію важными открытіями въ Чистой и Прикладной Маѳематикѣ.

Архимедъ, усмотрѣвъ, что въ Елементахъ Евклида недостаетъ, по видимому, существенной и полезнѣйшей части Геометріи -- измѣренія пространствъ, ограниченныхъ прямыми и кривыми линіями и поверхностями, приступилъ къ дополненію сего недостатка. Да будетъ мнѣ позволено предположить, что Архимедъ, прокладывая путь къ своей цѣли, связывалъ идеи такимъ образомъ {Болѣе нежели вѣроятно, что Великій Сицилійскій Геометръ слѣдовалъ другой дорогѣ; но я дѣлаю сіе съ тѣмъ намѣреніемъ? дабы сколько нибудь показать связь между предметами Геометріи, и отклонить нареканіе, что узнавъ Елементы Евклида, не будемъ умѣть найти площадь треугольника. Соч.}: Изъ предложенія XXIII книгъ VI Евклидовыхъ Елементовъ {Смотри: Les élèmens de Geometrie d'Euclide, etc. par F. Peyrard. 1809. Paris.} заключилъ онъ, что прямоугольникъ и квадратъ состоятъ въ сложномъ содержаніи своихъ сторонъ; потомъ, измѣнивши высоту и основаніе сего прямоугольника стороною квадрата, повелъ отсюда его совершенную мѣру. Но какъ по предложеніямъ XXXVI и XLI книги I прямоугольникъ можно уравнять параллелограму и треугольнику, то и сихъ фигуръ мѣры получить было не трудно. Послѣ сего Архимедъ не почелъ за нужное останавливаться на измѣреніи прочихъ плоскихъ пространствъ, ограниченныхъ прямыми линіями, -- поелику сіи пространства могутъ быть раздѣляемы на треугольники, -- и перешедъ къ кругу, увидѣлъ, что для измѣренія онаго потребно прежде сравнить его съ какою-либо прямо линейною фигурою, a лучше всего съ треугольникомъ. Здѣсь-то надлежало употребить способъ доказательства ad absurdum, принявъ въ основаніе ѳеоремы, которыя Евклидъ считалъ парадоксами {Сіи ѳеоремы суть: 1. Хорда менѣе своей дуги. 2. Часть касательной, ограниченная, двумя продолженными радіусами, болѣе соотвѣтствующей. дуги. Пейраръ говоритъ, что всѣ усилія доказать сіи двѣ ѳеоремы были до сихъ поръ (до 1809 г.) тщетными. Въ самомъ дѣлѣ неудачно покушеніе Лежандра доказать вообще, что изъ двухъ преломленныхъ или кривыхъ линій, вмѣщающихся одна въ другую, облекающая болѣе облекаемой, имѣютъ ли онѣ, или не имѣютъ точекъ соприкосновенія. Но нашъ Геометръ Гурьевъ въ справедливости непочелъ за нужное подводить оныя двѣ ѳеоремы подъ одну общую, и каждую изъ нихъ доказалъ съ возможною геометрическою строгостію.-- Сверхъ сего способъ доказательства ad absurdum, превратившійся въ способъ предѣловъ, приведенъ симъ незабвеннымъ Маѳематикомъ во всеобщность, и статьи:о сравненіи круговъ, цилиндровъ, конусовъ и шаровъ приняли на себя такой видъ, то не обинуясь можно сказать, что доводы, коими Пейраръ старается подтвердить важнѣйшія истины, о кругахъ и трехъ круглыхъ тѣлахъ, почти не заслуживаютъ никакого вниманія. Соч.}. Совершивъ сіе, должно было найти приближенное отношеніе діаметра къ окружности, дабы величину всякаго круга можно было представить въ числахъ.

Показавъ мѣру плоскихъ пространствъ, подлежащихъ, разсматриванію въ Елементахъ Геометріи, Архимедъ перешелъ къ измѣренію тѣлъ, ограниченныхъ плоскостями. Основанія для сего измѣренія заключаются въ предложненіяхъ XXXI, XXXIII книги XI и въ предложеній, VII книги XII Елементовъ Евклида. Послѣ сего онъ не могъ уже пользоваться сею книгою, и руководимый собственнымъ геніемъ, предложилъ ту прекрасную ѳеорію трехъ круглыхъ тѣлъ, которая составляетъ предметъ его книги о сферѣ и цилиндрѣ и которая навсегда утвердила его славу. Самъ Архимедъ столько былъ восхищенъ своими открытіями; что завѣщалъ вырѣзать на гробницѣ своей изображенія сферы и цилиндра.

Послѣ сего Архимедъ обратился къ высшей Геометріи. Слѣдствіемъ его размышленій былъ трактатъ о коноидахъ и сфероидахъ, исполненный такаго глубокомыслія и остроумія, что немногіе изъ новыхъ Геометровъ, презирающихъ, методъ древнихъ, могутъ понимать его способы. Наконецъ рядъ своихъ открытій въ Чистой Маѳематикѣ заключилъ онъ квадратурою параболы и изложеніемъ свойствъ спиральной линіи, изобрѣтенной другомъ его Конономъ.

Нѣкоторые изъ современниковъ Архимеда утверждали, что никакое число не можетъ изобразить количество песка, находящагося на берегахъ моря. Архимедъ предпринялъ уничтожить сіе заблужденіе, и въ книгѣ своей Psammites sev Arenarius показалъ, что когда предѣлы вселенной будутъ имѣть большее пространство; нежели то которое было предполагаемо; тогда пятидесятый членъ возрастающей десятеричной прогрессіи съ излишествомъ изобразитъ число песка, въ сихъ предѣлахъ заключащагося.

Въ заключеніе сей статьи изъявляю свое сожалѣніе о томъ, что, будучи ограниченъ тѣсными предѣлами моего разсужденія, не могу начертать здѣсь картины открытій Архимеда по части Механики, Гидростатики и Оптики,-- открытій; коими сей великій мужъ принесъ наивеличайшую пользу отечественному городу, и доказалъ, что умствованія Геометровъ не суть тщетныя и въ общежитіи безполезныя.

Честь лучшаго изданія Архимедовыхъ твореній принадлежитъ Оксфордскому Университету. Сіе изданіе имѣетъ такое заглавіе: Archimedus, quae supersunt omnia cum Eutotii Ascalonitae ex recentione Iosephi Torelli Veronensis cum nova versione Latina, accedunt lectiones vuriantes ex cod. Medic. et Prisiensibus, Oxonii, 1793, in folio. Также заслуживаетъ вниманіе переводъ Архимедовыхъ сочиненій на Французской языкъ, сдѣланный Пейраромъ; Oeuvres d'Archimede, 1808.

Теперь приступаю къ описанію трудовъ такаго мужа, котораго должно причислить къ тѣмъ тремъ Геометрамъ древности (Евклиду, Аполлонію, Архимеду), коихъ творенія суть источники Маѳематическихъ познаній: -- сей мужъ естъ Діофантъ, основатель Алгебры, или всеобщей науки счета.

Люди, одаренные геніемъ, могутъ преобразовывать науки и ускорять ихъ ходъ къ совершенству. Видѣли, что искусство считать, принадлежитъ всѣмъ народамъ, но только Индія положила для него твердыя, основанія, принявши десятеричное содержаніе чиселъ. Пиѳагоръ, можетъ быть, покоряясь обстоятельствамъ, набросилъ покровъ таиственности на сію важную отрасль человѣческихъ познаній, и тѣмъ воспрепятствовалъ ея распространенію между своими соотечественниками, такъ что до временъ Евклида Ариѳметика не была обработываема ученымъ образомъ. Въ его Элементахъ три книги, 7, 8 и 9, содержатъ разсужденія о свойствахъ чиселъ, необходимыхъ, для множества Ариѳметическихъ изысканій. Послѣ Евклида ѳеоріею чиселъ занимался Ератосѳенъ. Видно также, что и Архимедъ обращалъ на сей предметъ нѣкоторое вниманіе, но не углублялся въ него. Въ пространствѣ времени отъ Архимеда до Діофанта хотя многіе изъ занимающихся Маѳематикою писали объ Ариѳметикѣ, однако ихъ сочиненія, какъ людей неодаренныхъ талантами, не сообщили сей наукѣ ни большаго пространства, ни большаго совершенства; Маѳематики сіи не смѣли, такъ сказать, отдѣлиться отъ елементарности. Сверхъ того они вдавались въ мечты, обманывали другихъ и себя, и наносили великой вредъ наукѣ. Порфирій писалъ о таинственности чиселъ; Ѳимаридасъ, есть сочинитель книги, называемой Epanthetna sev Florilegium, въ которой содержатся разныя ариѳметическія увеселенія; также Никомахъ составилъ трактатъ объ Ариѳметикѣ, гдѣ свойства чиселъ разсматриваетъ онъ по способу Пиѳагорейцовъ, слѣдственно ето есть собраніе жалкихъ мечтаній, унижающихъ умъ человѣческой. И такъ всѣ сіи люди были рабы своихъ предшественниковъ, и не воображали, что Ариѳметика можетъ получишь приращеніе, можетъ обратиться въ общую науку счета. Такая мысль прежде всѣхъ родилась въ головѣ Діофанта Александрійскаго, написавшаго трактатъ подъ заглавіемъ: Arithmeticorum libri, изъ коихъ дошли до насъ токмо шесть. Вотъ краткое изложеніе содержанія сихъ книгъ.

Во первыхъ замѣтимъ, что употрепляемяые Дифантомъ знаки сходствуютъ со знаками новыхъ алгебраистовъ до введенія въ Алгебру буквъ. На примѣръ неизвѣстное искомое число означаетъ онъ чрезъ δτι; квадратъ числа называетъ δυναμις, и означаетъ чрезъ δn кубъ именуетъ κυβος и означаетъ чрезъ κn; четвертая степень разумѣется у него подъ знакомъ δδn, a пятая подъ зяакомъ δκn, и пр. Чтожъ касается до изображенія четырехъ дѣйствій ариѳметическихъ, то одно токмо вычитаніе представляетъ Діофантъ чрезъ обращенное и нѣсколько усѣченное Ψ.

Діофантъ, углубляясь въ ариѳметическія дѣйствія, задавалъ себѣ различные вопросы, приближался всегда къ труднѣйшимъ, и наконецъ, достигши уравненія второй степени, встрѣтилъ важное препятствіе въ извлеченіи корней. Здѣсь-то разкрылся геній сего остроумнаго Анализиста. Онъ изобрѣлъ средство избѣгать величинъ ортагональныхъ, и проложилъ дорогу къ неопредѣленной аналитикѣ, которая усовершенствована нынѣ Ейлеромъ, Дежандромъ, Лагранжемъ и Гауссомъ. Списобъ Діофанта состоитъ въ искусствѣ превращать квадратныя уравненія въ первостепенныя, стараясь составлять такія, въ которыхъ бы уничтожились квадраты или искомаго, или даннаго числа.

Кромѣ сего рода уравненій, которыя именуются простыми. Діофантъ разрѣшаетъ еще такъ называемыя уравненія двойныя, выходящія изъ задачь, требующихъ двухъ одно отъ другаго зависящихъ выраженій. Но въ шести его книгахъ, пощаженныхъ временемъ, нѣтъ разрѣшенія уравненій тройныхъ, четверныхъ, и прч.

Многіе изъ новѣйшихъ Маѳематиковъ занимались анализомъ Діофанта, и между нимъ Ферматъ съ успѣхомъ дополнилъ то, чего недоставало въ древнемъ анализистѣ.


П--въ.


-----


[Перевощиков Д.М.] Отрывки из разсуждения о чистой мафематике: (Окончание) / П-в // Вестн. Европы. -- 1818. -- Ч.100, N 13. -- С.23-39.