Перельман Яков Исидорович
Тридцать простых приемов устного счета

Lib.ru/Классика: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь]
Скачать FB2

 Ваша оценка:

Тридцать простых приемов устного счета

Составил Я. И. ПЕРЕЛЬМАН

Ленинград.

1941

   

От составителя

   В настоящее время в продаже нет руководств, содержащих наставления к быстрому выполнению счетных операций в уме. Мы сочли поэтому полезным собрать в краткой брошюре наиболее простые и легко усваиваемые приемы быстрого устного счета. Они рассчитаны на средние способности и имеют в виду не публичные выступления на эстраде, а потребности повседневной жизни. Пользующиеся книжечкой должны помнить, что успешное овладение ее указаниями предполагает не механическое, а вполне сознательное распоряжение приемами и, кроме того, более или менее продолжительную тренировку. Зато, усвоив рекомендуемые приемы, можно выполнять быстрые расчеты в уме с безошибочностью письменных вычислений.
   

Умножение на однозначное число

   ї 1. Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 в 8), выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20 в 8 = 160), затем единицы (7 в 8 = 56) и оба результата складывают.
   Еще примеры:

34 в 7 = 30 в 7 + 4 в 7 = 210 + 28 = 238(
47 в 6 = 40 в 6 + 7 в 6 = 240 + 42 = 282(

   ї 2. Полезно знать на память таблицу умножения до 19 в 9:

2

3

4

5

6

7

8

9

11

22

33

44

55

66

77

88

99

12

24

36

48

60

72

84

96

108

13

26

39

52

65

78

91

104

117

14

28

42

56

70

84

98

112

126

15

30

45

60

75

90

105

120

135

16

32

48

64

80

96

112

128

144

17

34

51

68

85

102

119

136

153

18

36

54

72

90

108

126

144

162

19

38

57

76

95

114

133

152

171

   Зная эту таблицу, можно умножение, например, 147 в 8 выполнить в уме так:

147 в 8 = 140 в 8 + 7 в 8 = 1120 + 56 = 1176.

   ї 3. Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например:

225 в 6 = 225 в 2 в 3 = 450 в 3 = 1350

Умножение на двузначное число

   ї 4. Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.
   Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют( действие, как указано в ї 1. Например:

6 в 28 = 28 в 6 = 120 + 48 = 168

   ї 5. Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:

29 в 12 = 29 в 10 + 29 в 2 = 290 + 58 = 348

41 в 16 = 41 в 10 + 41 в 6 = 410 + 246 = 656

(или 41 в 16 = 16 в 41 = 16 в 40 + 16 = 640 + 16 = 656)

   Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.
   ї 6. Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2 в 7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (ср. ї 3). Например:

45 в 14 = 90 в 7 = 630

Умножение на 4 и на 8

   ї 7. Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:

112 в 4 = 224 в 2 = 448

335 в 4 = 670 в 2 = 1340

   ї 8. Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:

217 в 8 = 434 в 4 = 868 в 2 = 1736

   (Еще удобнее: 217 в 8 = 200 в 8 + 17 в 8 = 1600 в 13 = 1736).

Деление на 4 и на 8

   ї 9. Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:

76 : 4 = 38 : 2 = 19

236 : 4 = 118 : 2 = 59

   ї 10. Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:

464 : 8 = 232 : 4 = 116 : 2 = 58

516 : 8 = 258 : 4 = 129 : 2 = 641/2

Умножение на 5 и на 25

   ї 11. Чтобы устно умножить число на 5, умножают его на

10

2

   , т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:

74 в 5 = 740 : 2 = 370

243 в 5 = 2430 : 2 = 1215

   При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:

74 в 5 =

74

2

в 10 = 370

   ї 12. Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на

100

4

   , т. е. -- если число кратно 4-х -- делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Например:

72 в 25 =

72

4

в 100 = 1800

   Если же число при делении на 4 дает остаток, то

при остатке:

приписывают к частному

1

25

2

50

3

75

   Основание приема ясно из того, что

100 : 4 = 25; 200 : 4 = 50; 300 : 4 = 75

Умножение на 11/2, на 11/4, на 21/2, на 3/4

   ї 13. Чтобы устно умножить число на 11/2 прибавляют к множимому его половину. Например:

34 в 11/2 = 34 + 17 = 51

23 в 11/2 = 23 + 111/2 = 341/2 (или 34,5)

   ї 14. Чтобы устно умножить число на 11/4, прибавляют к множимому его четверть. Например:

48 в 11/4 = 48 + 12 = 60

58 в 11/4 = 58 + 141/2 = 721/2 или (72,5)

   ї 15. Чтобы устно умножить число на 21/2, к удвоенному числу прибавляют половину множимого. Например:

18 в 21/2 = 36 + 9 = 45

39 в 21/2 = 78 + 191/2 = 971/2 (или 97,5)

   Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:

18 в 21/2 = 90 : 2 = 45

   ї 16. Чтобы устно умножить число на 3/4 (т. е. чтобы найти 3/4 этого числа), умножают число на 11/2 и делят пополам. Например:

30 в 3/4 =

30 + 15

2

= 221/2

(или 22,5)

    Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.

Умножение на 15, на 125, на 75

   ї 17. Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 11/2 (потому что 10 в 11/2 = 15). Например:

18 в 15 = 18 в 11/2 в 10 = 270(

45 в 15 = 450 + 225 = 675

   ї 18. Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 11/4 (потому что( 100 в 11/4 = 125). Например:

26 в 125 = 26 в 100 в 11/4 = 2600 + 650 = 3250

47 в 125 = 47 в 100 в 11/4 = 4700 +

4700

4

= 4700 + 1175 = 5875

   ї 19. Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на 3/4 (потому что 100 в 3/4 = 75). Например:

18 в 75 = 18 в 100 в 3/4 = 1800 в 3/4 =

1800 + 900

2

= 1350

   Примечание. Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом ї 6:

18 в 15 = 90 в 3 = 270

26 в 125 = 130 в 25 = 3250

Умножение на 9 и на 11

   ї 20. Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:

62 в 9 = 620 -- 62 = 600 -- 42 = 558

73 в 9 = 730 -- 73 = 700 -- 43 = 657

   ї 21. Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:

87 в 11 = 870 + 87 = 957

Деление на 5, на 11/2, на 15

   ї 22. Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числе последнюю цифру. Например:

68 : 5 =

136

10

= 13,6

237 : 5 =

474

10

= 47,4

   ї 23. Чтобы устно разделить число на 11/2, делят удвоенное число на 3. Например:

36 : 11/2 = 72 : 3 = 24

53 : 11/2 = 106 : 3 = 351/3

   ї 24. Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30. Например:

240 : 15 = 480 : 30 = 48 : 3 = 16

462 : 15 = 924 : 30 = 30

24

30

= 304/5 = 30,8

(или 924 : 30 = 308 : 10 = 30,8)

Возвышение в квадрат

   ї 25. Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8 в 9 = 72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры:

252; 2 в 3 = 6; 625

452; 4 в 5 = 20; 2025

1452; 14 в 15 = 210; 21025

   Прием этот вытекает из формулы

(10x + 5)2 = 100x2 + 100x + 25 = 100x (x + 1) + 25

   ї 26. Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:

8,52 = 72,25 14,52 = 210,25

0,352 = 0,1225, и т. п.

   ї27. Так как 0,5 = 1/2, а 0,25 = 1/4, то приемом ї25 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью 1/2:

(81/2)2 = 721/4

(141/2)2 = 2101/4 и т. п.

   ї 28. При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (а Ђ b)2 = а2 + b2 Ђ 2аb. Например

412 = 402 + 1 + 2 в 40 = 1601 + 80 = 1681

692 = 702 + 1 -- 2 в 70 = 4901 -- 140 = 4761

362 = (35 + 1)2 = 1225 + 1 + 2 в 35 = 1296

    Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9.

Вычисления по формуле

(а + b) (а -- b) = а2 -- b2

   ї 29. Пусть требуется выполнить устно умножение

52 в 48

   Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2) в (50 -- 2) и применяем приведенную в заголовке формулу:

(50 + 2) в (50 -- 2) = 502 -- 22 = 2496

   Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой -- в виде разности тех же чисел:

69 в 71 = (70 -- 1) в (70 + 1) = 4899(

33 в 27 = (30 + 3) в (30 -- 3) = 891(

53 в 57 = (55 -- 2) в (55 + 2) = 3021(

84 в 86 = (85 -- 1) в (85 + 1) = 7224

   ї 30. Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:

71/2 в 61/2 = (7 + 1/2) в (7 -- 1/2) = 483/4

113/4 в 121/4 = (12 -- 1/4) в (12 + 1/4) = 143

15

16

Полезно запомнить

   37 в 3 = 111
   Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п.

37 в 6 = 37 в 3 в 2 = 222

37 в 9 = 37 в 3 в 3 = 333

37 в 12 = 37 в 3 в 4 = 444

37 в 15 = 37 в 3 в 5 = 555 и т. д.

   7 в 11 в 13 = 1001
   Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:

77 в 13 = 1001

91 в 11 = 1001

77 в 26 = 2002

91 в 22 = 2002

77 в 39 = 3003

91 в 33 = 3003(

и т. д.

и т. д.

143 в 7 = 1001

143 в 14 = 2002

143 в 21 = 3003

и т. д.

   
   В нашей книжечке указаны только ростейшие, наиболее удобоприменимые способы устного выполнения действий умножения, деления и возвышения в квадрат. Практикуясь в сознательном пользовании ими, вдумчивый читатель выработает для себя ряд еще и других приемов, облегчающих вычислительную работу.

УКАЗАТЕЛЬ

Умножение

   на однозначное число

її 1--3

   на двузначное число

її 4--6

   разности на сумму

її 29--30

   на 3/4

ї 16

    11/4

ї 14

    11/2

ї 13

    21/2

ї 15

    4

ї 7

    5

ї 11

    8

ї 8

    9

ї 20

    11

ї 21

    15

ї 17

    25

ї 12

    75

ї 19

    125

ї 18

   

Деление

   на 11/2
   ї 23
    4
   ї 9
    5
   ї 22
    8
   ї 10
    15
   ї 24
   Возвышение в квадрат
   її 25--28
   
 Ваша оценка:
Связаться с программистом сайта.

Рейтинг@Mail.ru